Untitled Document


SÁPI NÓRA:
„SENARIUS DICITUR NUMERUS PERFECTUS” – PELBÁRT SZÁMTANÁHOZ

Dolgozatom alcímében Temesvári Pelbárt számtanát jelöltem meg témaként. Azonban nem a mai értelemben vett számtanról lesz szó. Ma a számtant és a matematikát általában egymás szinonimáinak tekintjük, a matematika pedig gyűjtőfogalom, különböző, matematikai gondolkodást igénylő tudományágakat fog össze: geometria, algebra, analízis stb. A középkorban a matematika fogalmát némileg más, és sokkal átfogóbb értelemben használták.[1] Nem állt olyan távol a humán jellegű ismeretektől, mint ma, valahol közbülső helyet foglalt el a természeti és a teológiai tudományok között, és módszereit biztos bizonyítási eszköznek tekintették.[2]

A középkorban az aritmetika és a geometria külön-külön a szabad művészetek között kapott helyet, míg a matematika ezektől különállva, önálló tudományként szerepel.

A matematikai jellegű tudományok Temesvári Pelbártnál

Temesvári Pelbárt a Stellarium VII. könyv, III. rész, 2. fejezetében Szűz Mária tudásával és ezzel kapcsolatban a tudományokkal foglalkozik. Felhívja a figyelmet a számok megértésének fontosságára. „Ötödször: az aritmetikát is ismerte, mivel ez a számokkal foglalkozik. A Szentírásban levő számok pedig sokértelműek (mystici), és a számok sokféleségüknek megfelelően sokféle mélyebb értelmet (mysteria) hordoznak, amint világos a hármas, hatos és tízes stb. számokban, ami sok írásban és glosszában nyilvánvaló. Továbbá a Szentírásban is szerepel Jákob, Izsák és mások éveinek száma is, és a különböző ünnepek is szóba kerülnek, amelyekhez szükséges a számolás tudománya. Mindez pedig az aritmetikához tartozik. Mivel ez a tudomány szükséges a Szentíráshoz, ebből következik, hogy a Boldogságos Szűz tudta. Hatodszor: ismerte a geometriát, minthogy a Szentírásban különböző mértékek vannak, mint az éfa, báth, kór és modius mértéke, és több hasonló, amint különösen Ezékielnél nyilvánvaló, ahol nagyon nagy nehézséget jelent a templom és a tabernákulum megmérése. Ilyen jellegű dolgokra való a geometria, tehát tudta.”[3]

 

Pelbartus de Themeswar, Stellarium, VII. könyv, III. rész, 2. fejezet

 A matematikát a hét szabad művészet után említi meg: „Továbbá nyilvánvalóan a matematikát is tökéletesen tudta, mivel a legtökéletesebb volt az érzékelést illetően, tehát az értelem tekintetében is annak kellett lennie. De ő az érzékelése alapján választott ki minden kiválaszthatót, tehát tudott minden tudhatót. Ugyanakkor azt mondják, hogy Ábrahám is tudta az ilyenfajta tudományokat és ebből gazdagodott meg, tehát a Boldogságos Szűznek is tudnia kellett ezeket, mert ő semmi jónak nem volt híján, ami más szentekben megvolt.”[4] A matematikai tudás birtoklása az értelem tekintetében való tökéletességként jelenik meg.

Számolás a középkorban

Milyen lehetett a középkoriak számfogalma, matematikai tudása és gondolkodása? A régiek ismeretei összehasonlíthatatlanul szűkösebbek voltak akár egy mai általános iskolás diák matematikai tudásához képest. Az aritmetika tanítása némi számmisztikával kezdődött. A szorzás, osztás műveletét táblázatokkal végezték, és a római törteket csak a szakma legképzettebbjei használták.[5] Egyes külföldi egyetemek azzal szereztek maguknak hírnevet, hogy hallgatóik osztani tudtak,[6] II. Szilveszter pápát pedig azzal vádolták, hogy képes nagyobb számok elosztására, „ez pedig nincsen az ördöggel való cimboraság nélkül”.[7] A kora középkorban tehát még a négy alapművelet elvégzése sem volt egyszerű feladat. A fejlődés legfőbb gátja az volt, hogy nem a helyiértékes arab számokat használták, és az általánosan elterjedt abakusz használata nehézkes volt.

Az abakusz használata[8]

 

Abacista és algoritmikus versenye. Arithmetica asszony balján Püthagorasz ül, az előtte levő számolótáblán az 1241 és 82 számok vannak kirakva. Jobbján Boethius, előtte arab jegyekkel írt számok. (Gregor Reisch Margarita Philosophica című, 1503-ban megjelent művéből)[9]

Kitaláltak azonban más, a gyakorlati alkalmazás szempontjából hatékony számolási módokat. A középkorban használatos volt az ujjakon történő számolási eljárás. A különbözőképpen behajlított ujjakkal fejezték ki az egyeseket, tízeseket, százasokat és ezreseket, a karok különböző helyzeteivel pedig akár egymillióig is ki tudták terjeszteni a számolást.[10]


L. Pacioli: Summa de aritmetrica… című, 1494-ben Velencében megjelent könyve nyomán[11]


Beda ujjszámolási táblázata (Jacob Leupold, 1727)[12]

A matematikai tudás fontossága az egyházban

Szent Ágoston hangsúlyozta a számok ismeretének fontosságát a bibliai szövegek értelmezésében. Szerinte a keresztény tudósnak ismernie kell a számok jelentését, különben sok misztikus vonás rejtve marad előtte a Bibliában: „…legalább ama számok értelmét kifejtenék és összeírnók, amelyekről az Írás megemlékezik.”[13] A matematika eredetéről így vall A keresztény tudásról című művében: „Ezek után már a legnehezebb felfogású ember számára is nyilvánvaló, hogy a számokkal kapcsolatos tudományt sem az emberek alkották meg, hanem csak kikutatták és feltárták a rá vonatkozó szabályokat. … egyetlen ember sem érheti el, hogy háromszor három ne kilenc legyen … a számok változatlan szabályoknak vannak alárendelve, amelyek semmiképpen sem emberi alkotások…”[14]

Ágoston hatására nemcsak a matematika iránt ébredt fokozott figyelem, hanem kialakult a keresztény számmisztika is, amelynek gyökerei a zsidó kabbalához hasonlóan Püthagorasz tanításaiban találhatók. Míg a görög matematika a püthagoreus számmisztikával kezdődött, addig a középkori matematika a valláshoz szorosan kötődő keresztény számmisztikából indult útjára. A számmisztika összefügg a matematika tudományának fejlődésével, szerepe fontos abban, hogy elősegítette a számok tulajdonságainak jobb megismerését.

A középkorban ez a műveltség a kolostorokban élt tovább. A számolást gyakorlati célokból tanították, például egyházi ünnepnapok kiszámításához. Boethius aritmetikai témájú írása (Institutio arithmetica, 500 körül) volt a kolostorok első és sokáig használt matematikai tankönyve, amely nem eredeti mű, hanem görög munkák szabad fordítása. Benne ismerteti a püthagoreus számelmélet egyes fejezeteit.

A tudomány még a 14. században is részben a hittudomány szolgálatában állt. Különböző teológiai kérdések vezették a korabeli tudósokat matematikai problémák vizsgálatára.[15]

A számok bizonyító ereje

A keresztény írók több módon bizonyítottak egy általuk kigondolt vallási tételt. Kereshettek megfelelő idézetet a Bibliából, és hivatkozhattak más szerzőkre és azok műveire. Felhasználták a hétköznapi megfigyelések tanulságait, és a különböző tudományok bizonyító erejét és módszereit is alkalmazták. Az érvekkel való bizonyításban gyakran helyet kaptak számelméleti spekulációk és matematikai eszközök is, melyek a mai ember számára sokszor túlzottan erőltetettnek hatnak.[16]

Erre a középkor vége felé egyre inkább elburjánzó magyarázási módra hoz fel intő példát Katona Lajos Temesvári Pelbárt példái című írásában.[17] Az eljárásra példa Nagy (I.) Szent Gergely pápa Moralia című művének egyik részlete. Ebben Jób a Megváltó typusa, vagyis előképe. Hét fia a tizenkét apostol, mégpedig úgy, hogy a 7-es számot az író két részre, 3-ra és 4-re bontja, s ennek a két számnak a szorzata éppen a 12-t adja (7=3+4; 12=3x4). Az apostolok száma pedig azért épp 12, mert a világ négy tájára küldte őket mesterük, hogy a Szentháromságot hirdessék. Az utolsó gondolat ugyanebben a formában megjelenik többek között Temesvári Pelbártnál is.

A számok szimbolikus jelentése, megjelenésük vallásos szövegekben

A középkori keresztény Európában sok számnak – néha akár egymásnak ellentmondó – szimbolikus jelentést tulajdonítottak. Ezt a többletjelentést a Bibliából származtatták, illetve egyes neves gondolkodók műveiből (például Szent Ágoston művei fontos alapot szolgáltattak erre). A tézisek azután továbbéltek egyre bővülő változatokban. Több számhoz az ókori tudásban gyökerező ismereteket kapcsoltak.

Ókori gyökerű definíciók

Több matematikai definíció nagy múltra tekint vissza. A középkori írók bizonyos fogalmakat általánosan ismertnek tételeztek fel műveikben, és számunkra ezek ismerete nélkül nem érthető tökéletesen a szerző által kifejtett gondolatmenet.

A dolgozat címében szereplő idézet (Senarius dicitur primus numerus perfectus) Pelbárt egyik sermójából való. Perfectus = tökéletes, a hatos az első tökéletes szám. A tökéletes szám fogalma a görögöktől, közelebbről a püthagoreusoktól származik. Pelbárt nem írja le a tökéletes szám meghatározását, talán annyira közismert lehetett. De megtalálhatjuk azt Augustinusnál vagy más szerzőknél, például Franciscus de Mayronisnál is. Augustinusnál a következőképp szól a meghatározás a hatos szám kapcsán: „…egy meg kettő meg három, az hat. Ez a szám pedig azért tökéletes, mert részeiből összerakható. Ez a három van benne: hatod, harmad és fél. Semmi más nem található benne, amely osztaná. Hatodrésze az egy, harmadrésze a kettő és fele a három. A hatos szám tökéletességét a Szentírás is jelzi. Főleg azzal, hogy Isten hat nap alatt vitte végbe művét, s a hatodik napon teremtette az embert a saját képmására (Ter 1, 27).”[18] Ez az első hallásra talán bonyolult definíció egyszerűbben megfogalmazva: tökéletes szám az a szám, amely (a pozitív egész számok halmazán) egyenlő az önmagánál kisebb osztóinak az összegével. Például: a 6 osztói önmagán kívül: 1, 2, 3. 6=1+2+3.[19]

A tökéletes szám püthagoreusi meghatározásához képest a középkorban a „tökéletes” éppúgy bírt vallásos, mint aritmetikai jelentéssel. Így kerülhetett arra sor, hogy az eredeti meghatározás néha elhomályosult, és átértelmezték azt. Például Temesvári Pelbártnál ez a jelző már nem csupán az eredeti jelentésre szolgál, mert ő tökéletesnek nevezi a tízes számot is. A tíz nem egyenlő nála kisebb osztóinak összegével (10≠1+2+5=8), így a kritériumnak nem felel meg, viszont egyenlő az első négy szám összegével: 10=1+2+3+4. Abból következtetve, hogy a 6=1+2+3, nem azt emelték ki, hogy az osztóival egyenlő a szám, hanem azt, hogy a sorban következő első három szám összegével azonos. Így a tíz abban hasonlít a tökéletes hatosra, hogy szintén a számsorban egymás után szereplő számok összegével azonos, csak nem az első hárommal, hanem az első néggyel.

A tökéletes szám fogalma csupán egy az ókorból ránk maradt számelméleti fogalmak közül. A különböző matematikai okoskodások kitűnő példáját látjuk Franciscus de Mayronisnál, akire Pelbárt is hivatkozik írásaiban. Ő Sermones de laudibus sanctorum című művében a négyszögű szám és a tizenkettes szám négy-négy tulajdonságát sorolja fel.[20] János apostol kitüntetett szerepét akarja igazolni a négyes szám segítségével. Az első érv, hogy „Krisztus őt az elhíváskor a negyedik helyre választotta”. Ezt az állítását ellenőrizhetjük a Bibliából. Máté, Márk és Lukács evangéliumában az első tanítványok meghívása a következő sorrendben (szám nélkül) történik: Simon, András, Jakab, János.[21]

A következő bizonyíték: „Mindazonáltal pedig meg kell érteni, hogy a négyes számnak négy tulajdonsága van, amelyek illenek erre az apostolra, melyek közül: Első, hogy négyszögű szám…[és] a többi négyszögűek általa vannak, s ebben megérthetjük ezen apostol szilárdságát az Úr Jézus Krisztussal, miképpen az erényes embert a jó négyszöghöz hasonlítják, amelyet nehéz kimozdítani helyéből…”
A püthagoreusok tanítottak a négyszögű számokról. Gyakran szemléltették a számokat kirakott kavicsokkal. A háromszög alakba rendezhető kavicsok számát nevezték háromszögszámoknak. A négyzetes alakba rendezhető számok a négyzetszámok:

Az első négyzetszám a 4, mivel az 1-et egységnek, eredetnek, nem számnak tekintették. A négyet 2x2-es négyzet alakba tudjuk rendezni. A többi négyszögű szám úgy eredeztethető a négyből, hogy a négy elemre további építőköveket teszünk:

Az apostol is szilárd alap, amire építeni lehet. Ezen tulajdonság miatt hasonlíthatják az erényes embert a „jó négyszöghöz”, és hívhatják Krisztust szegletkőnek, mondja Franciscus de Mayronis.[22]

Ugyanő a tizenkettes szám kapcsán a következőket állítja: „A tizenkettes szám az első bővelkedő, mivel az első, amelynek valahány részei többet adnak, mint egésze, és az apostoloknak ez a teljessége az első volt, hiszen szétáradt a világban a szentek összes rendjei között…”. A bővelkedő szám (abundans) kifejezést máig használja a számelmélet. Egy szám bővelkedő, ha valódi osztóinak összege (azaz összes osztója a természetes számok körében, kivéve önmagát) több, mint maga a szám. Az első bővelkedő szám valóban a tizenkettő. Ugyanis: az 1 osztója önmaga, amit a meghatározás szerint kizártunk. A prímszámok (2, 3, 5, 7, 11) önmagukon kívül csak eggyel oszthatóak. A 4 osztói: 1, 2; 1+2=3<4. A 6 osztói: 1, 2, 3. 1+2+3=6. (A hatosról egyébként is tudtuk, hogy tökéletes szám, azaz osztóinak összege éppen magával a számmal egyenlő.) A 8 osztói: 1, 2, 4. 1+2+4=7<8. A 10 osztói: 1, 2, 5. 1+2+5=8<10. 12 osztói: 1, 2, 3, 4, 6. 1+2+3+4+6=16>12. Ehhez a „szétáradó” tulajdonsághoz hasonlítható az apostolok tanításának elterjedése a világban.

Temesvári Pelbárt egy sermo-részletének elemzése

Temesvári Pelbárt egyik prédikációjában szintén a tizenkettes szám kerül szóba. Beszédében megfigyelhetjük a különböző bizonyítási módszereket; hivatkozik a Bibliára és más szerzők műveire, és a matematikai eszközök bizonyító erejét is felhasználja.

A Pomerium de Sanctis nyári részének 27. darabjában[23] azt igyekszik alátámasztani, hogy Jézus nem véletlenül 12 apostolt, és se nem többet, se nem kevesebbet választott maga mellé a világ megtérítésére. Három csoportba sorolja a bizonyítékokat.[24]

Első helyre kerül az a magyarázat, amelyet Bedára hivatkozva ír le: Krisztus azzal is igyekszik kiemelni a világ megmentését szolgáló apostolok fontosságát, hogy saját számával megerősíti. A 3 a Szentháromság száma, a 4 a világ négy részét jelképezi, 3x4 pedig egyenlő 12-vel, ami épp az apostolok létszáma. A 12 apostol a világ négy részében ismerteti meg a Szentháromság hitét.[25]

A Béda doktorra való hivatkozás után a következő bizonyító érv a tökéletesség értelme. A 12 kétszer tökéletes, mivel kétszer tartalmazza a hatost. A hatos pedig – ahogy erről már szó volt – az első tökéletes szám, és a szentséget és a tisztaságot jelképezi. Összetett szám, de ő maga nem állít elő számot a tízes szám alatt, mivel 2x6=12, 12>10. Krisztus tehát azért választott 12 tanítványt, hogy azok kétszeres tökéletességgel hirdessék az igazságot. Ezt a kétszeres tökéletességet egyrészt Krisztus életének és tetteinek utánzásával, másrészt a keresztény hit tanulmányozásával és tanításával érik el Temesvári Pelbárt szerint. Ezt többek között egy bibliai idézettel is alátámasztja: „aki pedig megteszi és tanítja, azt nagynak fogják hívni a mennyek országában.”[26] Nekünk is utánoznunk kell az apostolok hitét és erényeit.[27]

Érvelésének harmadik pontjában a Szentírással, azon belül a Jelenések könyvéből vett részletekkel igyekszik azt bizonyítani, hogy az apostolok főleg három módon lettek Krisztus által felszentelve. A párhuzamot az apostolok és a bibliai szövegek között ismét a tizenkettes szám jelenti.

Az első: 12 drágakőből készült alapkőre épültek az új Jeruzsálem falai, s azokba bele van írva a 12 apostol neve. A Bibliában ez így szól: „A város falának tizenkét alapköve volt, és azokon a Bárány tizenkét apostolának tizenkét neve.”[28] Az apostolok alapkövek, méghozzá az égi város alapkövei, rájuk épül fel az új Jeruzsálem. „A város falának alapkövei minden drágakővel ékesek. Az első alapkő jáspis, a második zafír, a harmadik kalcedon, a negyedik smaragd, az ötödik szárdonix, a hatodik karneol, a hetedik krizolit, a nyolcadik berill, a kilencedik topáz, a tizedik krizopráz, a tizenegyedik jácint, a tizenkettedik ametiszt.”[29]

A második: 12 kapuja van az égi városnak. A Bibliában a következőket olvashatjuk: „Nagy és magas fala volt, tizenkét kapuval, és a kapuk fölött tizenkét angyal. A kapukra nevek voltak írva, amelyek Izrael fiainak tizenkét törzsének nevei. Keletről három kapu, és északról három kapu, és délről három kapu, és nyugatról három kapu.”[30] Mivel az apostolok a Szentháromság hitét tanították, és a parancsok megtartására buzdították az egész világot, ezért mondják őket kapunak, amely az égi városba vezet.

A harmadik: Minden egyes kaput gyöngy díszít. „A tizenkét kapu tizenkét drágagyöngy, és egy-egy kapu egy-egy drágagyöngyből áll. A város utcája színarany, mint az átlátszó üveg.”[31] Temesvári Pelbárt minden egyes apostolt egy-egy gyöngyhöz hasonlít, mert azok fényessége hasonlatos az apostolokban ragyogó erényekhez.[32]

Temesvári Pelbárt más írásaiban is találhatunk számokhoz, keresztény számmisztikához kötődő és némi számelméleti háttérismeretet igénylő részleteket. Ezek magyarázata és más középkori vallásos szerzők gondolataival való párhuzamba állítása érdekes feladat lehet a mai olvasó számára.

 

Nóra SÁPI:
“Senarius Dicitur Numerus Perfectus”
To the Arithmetic of Pelbárt

Numbers play an important role in the sermons of Pelbartus de Themeswar. Sermons in his era were divided into their sections according to specific numbers, which took into account numerology and other speculations about the significance of numbers. This study examines Pelbartus’ use of these numbers and draws a parallel between the work of Pelbartus and that of Fransiscus de Mayronis who, 200 years earlier used similar systems of numbers.

 

[1] „A »matematika« és a »matematikus« szó évezredek során alapvető jelentésváltozásokon ment át. A „matematika” görög megfelelője – köztudomásúlag – eredetileg »a tudomány«-t jelentette. Azonban a szó értelmének némi szűkítése következtében a közép- és újkorban – csaknem mindenütt, de főleg nálunk – »matematikus« volt – röviden szólva – minden természettudományos érdeklődésű polihisztor. A »matematikai« jelzőt különös előszeretettel használták … az előbb említett szűkebb, de a maihoz képest még mindig igen átfogó értelemben.” Pápai Páriz Ferenc 1767-ben megjelent Dictionarium című művében a következőket olvashatjuk: mathematica = matématika, mathematicus = aki a matématikát jól megtanulta, mathesis = mesterség, amely bizonyos erősségekből áll. Szénássy Barna, A magyarországi matematika története, Bp., 1970, 65-66.

[2] Aquinói Szent Tamás Boethius Szentháromság című könyvének magyarázatai 6. könyv 1. fejezetében írja a következőket: „Miután a matematika közbülső helyet foglal el a természeti és a teológiai tudományok között, bármelyiküknél bizonyosabb; a természetinél azért, mert gondolkodása elválik a mozgástól és az anyagtól; miközben a természettudós az anyag és mozgás felé fordul… Továbbá a matematika eljárása bizonyosabb a teológiai tudományoknál is, mert az a dolog, amit a teológiai tudományok vizsgálnak, távolabb esnek azoktól az érzéki tárgyaktól, amelyekből ismereteink kiindulnak…” Hersh, Reuben, A matematika természete, Bp., 2000, 114.

[3] Magyarul olvasható: Temesvári Pelbárt válogatott írásai, szerk. V. Kovács Sándor, Bp., 1982, 165. A fordítás második mondatát szöveghűbb fordításra cseréltem, amelyből jobban kitűnik a mystici és mysteria szavak jelentésének összetettsége. „Quinto arithmetricam etiam scivit, quia haec agit de numeris. Numeri autem in Sacra Scriptura sunt mystici, et secundum diversitatem numerorum diversa per eos significantur mysteria, ut patet in ternario, senario, et denario, et sic de aliis, sicut in multis Scripturis et glossis manifestum est. Praeterea in Sacra Scriptura fiunt computationes  annorum ut de Jacob, Isaac, et aliis, et festa diversa aguntur, ad quae necessaria est scientia computi. Haec autem omnia pertinent ad arithmetricam, ergo cum ipsa scientia sit necessaria ad Sacram  Scripturam, sequitur quod Beata Virgo sciverit eam. Sexto scivit geometriam, quia in Sacra Scriptura diversae sunt mensurae, ut mensura epbi, bacbi, chori, modii, et similia plura, ut patet in Ezechiele praecipue, ubi est magna valde difficultas de mensuratione templi et tabernaculi. De huiusmodi autem est geometria, ergo eam scivit.” ([Pelbartus de Themeswar], Stellarium coronae beatae virginis Mariae, Hagenau, 1498, Bibl. nat. Inc. 536b: VII. könyv, III. rész, 2. fejezet)

[4] Temesvári Pelbárt válogatott írásai, szerk. V. Kovács Sándor, Bp., 1982, 160-167.

[5] T. Tóth Sándor – Szabó Árpád, Matematikai műveltségünk keretei (Középkor és reneszánsz), Bp., 1988, 29.

[6] Szénássy Barna, A magyarországi matematika története, Bp., 1970, 35.

[7] Sain Márton, Nincs királyi út! (Matematikatörténet), Bp., 1986, 439.

[8] Abakusz: Filep László – Bereznai Gyula, A számírás története, Filum Kiadó, 1999, 51.

[9] Filep László – Bereznai Gyula, A számírás története, Filum Kiadó, 1999, 121.

[10] Erre a számolási módszerre nyúlik vissza a számoknak a középkori matematikára jellemző, Boethiustól származó felosztása: digiti – ujjak: egyesek; articuli – ujjpercek: tízesek; numeri compositi – összetett számok, vagyis az összes többi szám. Juskevics, A. P., A középkori matematika története, Bp., 1982, 357.

[11] Számolás ujjakon: L. Pacioli, Summa de aritmetrica… című, 1494-ben Velencében megjelent könyve nyomán, Juskevics, A. P., A középkori matematika története, Bp., 1982, 357.

[12] Beda ujjszámolási táblázata (Jacob Leupold, 1727), Flegg, Graham, Numbers (Their History and Meaning), New York, 2002, 15.

[13] Filep László, A tudományok királynője, Bp., 1997, 125. Ez a gondolat később is felmerült más gondolkodóknál. Hrabanus Maurus (784 körül-856) a következőket írta: „A Szentírás pedig sok és különböző szám formájában sokféle titokra utal, amelyek rejtve maradnak azok előtt, akik nem ismerik a számok jelentését. Ezért szükséges, hogy mindenki szorgalmasan tanulmányozza az aritmetikát, ha el akar jutni a Szentírás mélyebb megértéséhez.” Biedermann, Hans, Szimbólumlexikon, Bp., 1996, szám címszó.

[14] Augustinus, A keresztény tanításról, II. könyv/38.56, ford. Böröczki Tamás, Paulus Hungarus – Kairosz Kiadó, 143-144.

[15] Ezek az elmélkedések termékenyítően hatottak a tudományra jóval később is, például egyes gondolatok a XIX. század végén a végtelen halmazok elméletében keltek új életre. Filep László, A tudományok királynője, Bp., 1997, 131.

[16] Érzékletes példa: Swineshead az isteni kegyelemmel foglalkozva megpróbálta kiszámítani a kegyelem végállapotát a kegyelem pillanatnyi értékeiből, feltéve, hogy a születéskor Istentől kapott kegyelem folyamatosan változik. (Módszere primitív grafikus integrálás volt.) Filep László, A tudományok királynője, Bp., 1997, 131.

[17] Katona Lajos, Temesvári Pelbárt példái, Bp., 1902, 10-11.

[18] Augustinus, A Szentháromságról, IV. könyv, 4. fejezet, ford. Gál Ferenc, Bp., Szent István Társulat, 1985, 145.

[19] A második tökéletes szám a 28 (28=1+2+4+7+14). A következő a 496, majd a 8128. Kr.u. 100 körül az újpüthagoreus Nikomakhosz megadta a tökéletes számok képzési szabályát. Ma sem bizonyított sejtése azonban, hogy minden tökéletes szám 6-ra vagy 8-ra végződik. Sain Márton, Nincs királyi út! (Matematikatörténet), Bp., 1986, 86.

[20] Mayronis, Fransicus de, Sermones de laudibus sanctorum, Basel, 1498 (Bibl. nat. 974): tárgyszó a Tabula alphabeticában: „Numeri quadrati proprietates quattuor – fol. 29.” A hivatkozott hely: De sancto Iohanne, Sermo I. Fo. 29-30. II. consideratio: „Secunda consideratio est, quo ordine fuit Iohannes a Christo vocatus. Dicitur, quod a Christo ipse fuit sortitus quartum in vocatione locum. (…) Intelligendum est tamen, quod quaternarius numerus habet quattuor proprietates huic apostolo convenientes, quorum: Prima est, quod est numerus quadratus secundum Augustinum IV. De Trinitate. Cum ceteri quadrati sint per istum, in quo datur intelligi istius apostoli stabilitas cum Domino Iesu Christo, sicut homo virtuosus comparatur bono tetragono, qui difficulter movetur de loco suo, propter quam proprietatem Christus fuit vocatus lapis angularis, qui semper est quadratus et aptus aedificiis etc. Secunda est, quod iste numerus continet in se duplicatum binarium, in quo datur intelligi, quod iste apostolus incarnationis mysterium in scriptura continuavit, in quo iunctae fuerunt duae dualitates, dum humanitas Christi, quae constat ex corpore et anima, fuit assumpta a verbo, quod constituitur ex natura cum proprietate etc. Tertia est, quod iste numerus includit in suis partibus adaequate senarium, qui est primus numerus perfectus secundum Augustinum super Gen., in quo datur intelligi, quod status perfectionis apostolicae licet non fuerit in eo primo secundum ordinem generationis, fuit tamen secundum ordinem perfectionis etc. Quarta est, quod iste numerus claudit in se denarium, quia si accipiantur omnes eius partes insimul cum suo toto, faciunt denarium totum, sicut docet beatus Hieronymus in numero cantici graduum. In quo datur intelligi, quod sicut numerus denarius est in virtute omnium numerorum digitorum principalis, ita iste Iohannes apostolus quo ad sanctitatem fuit in capite omnium apostolorum Christi, alioquin non fuisset a Christo maxime dilectus, qui non est personarum acceptor. Et quia secundum istas proprietates fuit maxime Christo conformis, inducitur pro eo, quod dicitur Dan. III. ca.: Species quarti similis est Filio Dei etc.”

[21] Mt 4,18-22, Mc 1,16-20, Lc 5,1-11.

[22] A szegletkő alapkő, amelyen egy fal vagy egy egész épület nyugszik. A Biblia eredeti vagy jelképes értelemben egyaránt használja, néha zárókövet jelent (Ps 118,22, Iob 38,6, Is 28,16, Zac 10,4 stb.). Krisztus a gyülekezet szegletköve (Mt 21,42, Eph 2,20, I Pt 2,5-7).

[23] Pelbartus de Themeswar, Sermones Pomerii de sanctis II. [Pars aestivalis], Augsburg, 1502, RMK III. 104.

[24] Cur Dominus Iesus XII tantum apostolos eligere et non plures nec pauciores voluit pro totius mundi conversione et ad praedicandum principali missione. Ad haec respondetur per conclusionem secundum doctores, quod hoc summe congruum fuit praecipue triplici ratione:

  • ·         Prima ratio significationis
  • ·         Secunda ratio perfectionis
  • ·         Tertia praefiguratae consecrationis. (PA 027.B)

[25] Prima ratio significationis, Venerabilis Beda dicit sic: „Hunc numerum apostolorum Christus instituit certa causa mysterii, ut scilicet mundi salutem, quam verbo praedicarent, suo numero commendarent. Ter enim quattuor faciunt duodecim, et totidem apostoli ad praedicandum quattuor mundi partibus, hoc est: orienti, occidenti, meridiei et aquiloni missi sunt, quia per eos fides Sanctae Trinitatis in quattuor mundi partibus praedicanda erat, ut quadratum orbem fide Sanctae Trinitatis insignirent”. Haec ille. (PA 027.B)

[26] Mt 5,19.

[27] Secunda ratio perfectionis, quia secundum arithmeticos duodenarius numerus est bis perfectus, eo quod continet duos senarios. Senarius autem dicitur apud eos primus numerus perfectus et sanctitatis vel castitatis, eo quod generatur, sed non generat aliquem numerum infra denarium exsistentem. Nam producitur ex primo pari, hoc est „II”, et primo impari, scilicet „III”, sic dicendo: Bis tria sunt sex, sed non producit aliquem numerum infra denarium cum pari, quoniam si dicatur bis sex, erunt XII, nam XII sunt supra denarium. Voluit ergo Christus sub numero perfectionis bino sive duplicato, hoc est: bis senario apostolos eligere et in mundum ad praedicandum mittere, ut doceat, quia praedicatores veritatis debent fulgere duplici perfectione, scilicet vitae Christi sive operis imitando, et cum hoc scientiae vel sermonis Christi in cognoscendo ea, quae sunt de necessitate fidei. Matth. V.: „Qui fecerit et docuerit, hic magnus vocabitur in regno caelorum.” [Mt 5,19] … Quoniam autem Christus apostolos elegit in praelatos, doctores et iudices mundi ad ordinem summae perfectionis, scilicet apostolici status Christiformis, ut dicit Dionysius, ergo voluit eorum perfectionem commendare etiam numero bis senario. Unde dist. XL. „Multi” Chrysostomus dicit sic: „In iudicio Dei sedens si quidem bene vixeris et bene docueris, recte omnium iudex eris. Si autem male vixeris et bene docueris, tui solius. Male enim vivendo, sed bene docendo Deum instruis, quomodo debeat te condemnare.” Haec ille.(PA 027.B)

[28] Apc 21,14

[29] Apc 21,19-20

[30] Apc 21,12-13

[31] Apc 21,21

[32] Tertia ratio praefiguratae consecratonis, quia iste numerus apostolorum in Sacra Scriptura multipliciter praefigurabatur secundum plurimas eorum dignitates, ut patebit articulo II. sermonis. Ideo ut figuras impleret, Christus hoc numero voluit eligere et consecrare. Proinde Iohanni Apoc. XXI. ostensum est, quod apostoli in numero, scilicet duodenario forent consecrati a Christo Iesu praecipue tripliciter. Primo tamquam XII lapides pretiosi in fundamento supernae civitatis inscripti nominibus apostolorum et agni, scilicet Christi. Secundo tamquam portae XII eiusdem caelestis civitatis. Tertio tamquam XII margaritae singulas portas ornantes. Quare haec, nisi ut doceamur, quod si volumus consecrari in caelestes cives, et introitum civitatis supernae habere, debemus imitari apostolorum fidem et virtutes, iuxta quod fidelibus dicit Apostolus Eph. II.: „Fratres, iam non estis hospites et advenae, sed estis cives sanctorum et domestici Dei superaedificati super fundamentum apostolorum” etc. [Eph 2,19-20] Quid enim significatur per XII lapides pretiosos in fundamento civitatis caelestis, nisi XII articuli fidei positi a XII apostolis, ut dicit Lyra, quoniam sicut domus vel civitas construenda inchoatur a fundamento, sic per fidem formatam inchoatur beatitudo caelestis in nobis. Unde Heb. XI.: „Fides est substantia” [Hbr 11,1], id est fundamentum substans seu inchoatio sperandarum rerum, id est bonorum caelestium, quae sunt res a nobis sperandae. Huius fundamenti primum lapidem edidit Petrus dicens: Credo in Deum, Patrem omnipotentem etc. Secundum Iohannes dicens: Et in Iesum Christum, Filium eius unicum, Dominum nostrum. Tertium posuit Iacobus maior dicens: Qui conceptus est de Spiritu Sancto, natus ex Maria Virgine. Quartum Andreas dicens: Passus sub Pontio Pilato, crucifixus, mortuus et sepultus est. Quintum Philippus dicens: Descendit ad inferna. Sextum Thomas dicens: Tertia die resurrexit a mortuis. Septimum Bartholomaeus dicens: Ascendit ad caelos, sedet etc. Octavum Matthaeus dicit: Inde venturus est iudicare vivos etc. Nonum Iacobus minor dicens: Credo in Spiritum Sanctum. Decimum Simon dicit: Sanctam Ecclesiam catholicam, sanctorum communionem. Undecimum Taddaeus dicens: Remissionem peccatorum, et duodecimum Matthias dicens: Carnis resurrectionem et vitam aeternam. Sicque ponit Franciscus de Mayronis distinguendo in sermone de articulis fidei. O ergo homo, haec firmiter crede, si vis ad caelestem patriam introire.

     Item quid significatur per portas XII, respondet Lyra, quod XII mandatorum observationes, scilicet decem praeceptorum Decalogi cum duobus praeceptis charitatis. Per has enim portas habetur ingressus ad beatitudinem, Mat. XIX.: „Si vis ad vitam ingredi, serva mandata.” [Mt 19,17] Et quia has observare apostoli docuerunt verbo et exemplo in fide Trinitatis per totum mundum, ideo dicuntur ad quamlibet orbis partem tres portae.

     Denique XII margaritae in portis singulis quid sunt, nisi virtutes in apostolis singulis praelucentes, videlicet in Petro fervens charitas, in Iohanne virginitas, in Iacobo maiore desiderium caeleste, unde petivit per matrem sedere ad latus Christi in regno, tanto desiderio, ut offerret se calicem passionis bibiturum. Item in Andrea zelus fraternae salutis in agnitione Christi, quia primus Iesum fratri suo Petro annunciavit, statim ut primum agnovit, et ipse adduxit Petrum ad Iesum. In Philippo spes visionis divinae, qua dixit: „Domine, ostende nobis Patrem, et sufficit nobis.” [Ioh 14,8] In Thoma constantia, quare dixit: Eamus nos omnes, et moriamur cum illo. In Bartholomaeo contemptus mundialium, quare cum esset de regali genere Syriae, omnia contempsit pro Christo, et in purpureo suo collubrio Christum legitur secutus. In Matthaeo virtus largae elemosynae, quia ad unum verbum Christi sequens illum fecit in domo sua magnum convivium pauperibus Christi. Item in Iacobo minore conformitas Christi in mititate et patientia et mansuetudine, propter quod frater Domini dicebatur. In Simone oboedientia, quare sic interpretatur. In Taddaeo zelus iustitiae, quare iustitiam divinae ultionis in sua epistula terribiliter praedicavit. In Matthia humilitas, quare humiliter subiectus erat apostolis inter discipulos, unde et parvus interpretatur. Hae autem virtutes tamquam margaritae praefulgidae quamvis in singulo eorum perfectae essent omnes simul, tamen praecipue attributae in unoquoque illorum singularius clarent ex praedictis. Haec Franciscus pro parte. In his ergo debemus, carissimi, et nos clarere, ut ad eorundem consortium possimus pervenire et in caelo cum Christo conregnare.